mirror of
https://asciireactor.com/otho/phy-4600.git
synced 2024-12-12 20:35:08 +00:00
89 lines
2.9 KiB
Plaintext
89 lines
2.9 KiB
Plaintext
|a〉 and |b〉 are eigenstates of a Hermitian operator A with eigenvalues a and b, a ≠ b. The Hamiltonian operator is
|
||
|
||
Ĥ = |a〉 δ 〈a| + |b〉 δ 〈b|, with δ a real number.
|
||
|
||
a) The eigenstates of the Hamiltonian can be determined by diagonalizing the Hamiltonian operator's matrix representation. In general,
|
||
|
||
Ĥ ≐
|
||
⎛ 〈a|Ĥ|a〉 〈a|Ĥ|b〉 ⎞
|
||
⎝ 〈b|Ĥ|a〉 〈b|Ĥ|b〉 ⎠.
|
||
|
||
Calculating the individual components:
|
||
|
||
〈a|Ĥ|a〉 = 〈a|(|a〉 δ 〈a| + |b〉 δ 〈b|)|a〉 =
|
||
|
||
〈a|Ĥ|a〉 = 〈a|a〉 δ 〈a|a〉 + 〈a|b〉 δ 〈b|a〉 =
|
||
|
||
〈a|Ĥ|a〉 = δ(1 + 〈a|b〉〈b|a〉),
|
||
|
||
and because H is a hermitian operator, 〈a|b〉 = 〈b|a〉, so
|
||
|
||
〈a|Ĥ|a〉 = δ(1 + |〈a|b〉|²);
|
||
|
||
〈a|Ĥ|b〉 = 〈a|a〉 δ 〈a|b〉 + 〈a|b〉 δ 〈b|b〉 =
|
||
|
||
〈a|Ĥ|b〉 = δ (〈a|b〉 + 〈a|b〉) = δ 2〈a|b〉;
|
||
|
||
because of the hermition property,
|
||
〈b|Ĥ|a〉 = 〈a|Ĥ|b〉 = δ 2〈a|b〉;
|
||
|
||
finally,
|
||
|
||
〈b|Ĥ|b〉 = 〈b|(|a〉 δ 〈a| + |b〉 δ 〈b|)|b〉 =
|
||
|
||
〈b|Ĥ|b〉 = 〈b|a〉 δ 〈a|b〉 + 〈b|b〉 δ 〈b|b〉 =
|
||
|
||
〈b|Ĥ|b〉 = δ(〈b|a〉〈a|b〉 + 1),
|
||
|
||
〈b|Ĥ|b〉 = δ(1 + |〈a|b〉|²).
|
||
|
||
So, the Hamiltonian operator Ĥ ≐
|
||
|
||
δ ⎛ 1 + |〈a|b〉|² 2〈a|b〉 ⎞
|
||
⎝ 2〈a|b〉 1 + |〈a|b〉|² ⎠.
|
||
|
||
The eigenstates, which I will call |1〉 and |2〉 can be obtained by diagonalizing the Hamiltonian matrix. The first eigenvalue equations are
|
||
|
||
Ĥ|1〉 = E₁|1〉 and Ĥ|2〉 = E₂|2〉, with the eigenstates represented by the vector matrices, respectively,
|
||
|
||
⎛α₁⎞ ⎛α₂⎞
|
||
⎝β₁⎠ and ⎝β₂⎠.
|
||
|
||
δ ⎛ 1 + |〈a|b〉|² 2〈a|b〉 ⎞ ⎛α₁⎞ = E₁ ⎛α₁⎞
|
||
⎝ 2〈a|b〉 1 + |〈a|b〉|² ⎠ ⎝β₁⎠ ⎝β₁⎠.
|
||
|
||
This gives the equation α₁ + α₁|〈a|b〉|² + 2β₁〈a|b〉 = E₁α₁, and therefore the ratio between α₁ and β₁,
|
||
|
||
͟β͟₁͟ = ͟E͟₁͟ ͟-͟ ͟1͟ ͟-͟ ͟|͟〈͟a͟|͟b͟〉͟|͟²͟, or
|
||
α₁ 2〈a|b〉
|
||
|
||
β₁ = ͟α͟₁͟(͟E͟₁͟ ͟-͟ ͟1͟ ͟-͟ ͟|͟〈͟a͟|͟b͟〉͟|͟²͟)͟
|
||
2〈a|b〉
|
||
|
||
Using the normalization condition, the values of each constant can be obtained. Plugging the value for α₁ into the equation reveals a quadratic equation.
|
||
|
||
|
||
|
||
|α₁|² + |β₁|² = 1, so
|
||
|
||
|α₁|² + | ͟α͟₁͟(͟E͟₁͟ ͟-͟ ͟1͟ ͟-͟ ͟|͟〈͟a͟|͟b͟〉͟|͟²͟)͟ |² = 1.
|
||
| 2〈a|b〉 |
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
α₁(1 - E₁) + 2β₁〈a|b〉 + α₁|〈a|b〉|² = 0 and
|
||
_________
|
||
α₁ = ±√1 - |β₁|², so
|
||
_________ _________
|
||
±√̅1 - |β₁|² (1 - E₁) + 2β₁〈a|b〉 + ±√1 - |β₁|² |〈a|b〉|² = 0.
|
||
|
||
The quadratic formula therefore says that
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|