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|a〉 and |b〉 are eigenstates of a Hermitian operator A with eigenvalues a and b, a ≠ b. The Hamiltonian operator is
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Ĥ = |a〉 δ 〈a| + |b〉 δ 〈b|, with δ a real number.
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a) The eigenstates of the Hamiltonian can be determined by diagonalizing the Hamiltonian operator's matrix representation. In general,
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Ĥ ≐
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⎛ 〈a|Ĥ|a〉 〈a|Ĥ|b〉 ⎞
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⎝ 〈b|Ĥ|a〉 〈b|Ĥ|b〉 ⎠.
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Calculating the individual components:
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〈a|Ĥ|a〉 = 〈a|(|a〉 δ 〈a| + |b〉 δ 〈b|)|a〉 =
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〈a|Ĥ|a〉 = 〈a|a〉 δ 〈a|a〉 + 〈a|b〉 δ 〈b|a〉 =
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〈a|Ĥ|a〉 = δ(1 + 〈a|b〉〈b|a〉),
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and because H is a hermitian operator, 〈a|b〉 = 〈b|a〉, so
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〈a|Ĥ|a〉 = δ(1 + |〈a|b〉|²);
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〈a|Ĥ|b〉 = 〈a|a〉 δ 〈a|b〉 + 〈a|b〉 δ 〈b|b〉 =
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〈a|Ĥ|b〉 = δ (〈a|b〉 + 〈a|b〉) = δ 2〈a|b〉;
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because of the Hermitian property,
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〈b|Ĥ|a〉 = 〈a|Ĥ|b〉 = δ 2〈a|b〉;
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finally,
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〈b|Ĥ|b〉 = 〈b|(|a〉 δ 〈a| + |b〉 δ 〈b|)|b〉 =
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〈b|Ĥ|b〉 = 〈b|a〉 δ 〈a|b〉 + 〈b|b〉 δ 〈b|b〉 =
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〈b|Ĥ|b〉 = δ(〈b|a〉〈a|b〉 + 1),
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〈b|Ĥ|b〉 = δ(1 + |〈a|b〉|²).
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So, the Hamiltonian operator Ĥ ≐
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δ ⎛ 1 + |〈a|b〉|² 2〈a|b〉 ⎞
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⎝ 2〈a|b〉 1 + |〈a|b〉|² ⎠.
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The eigenstates, which I will call |1〉 and |2〉 can be obtained by diagonalizing the Hamiltonian matrix. The first eigenvalue equations are
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Ĥ|1〉 = E₁|1〉 and Ĥ|2〉 = E₂|2〉, with the eigenstates represented by the vector matrices, respectively,
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⎛α₁⎞ ⎛α₂⎞
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⎝β₁⎠ and ⎝β₂⎠.
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δ ⎛ 1 + |〈a|b〉|² 2〈a|b〉 ⎞ ⎛α₁⎞ = E₁ ⎛α₁⎞
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⎝ 2〈a|b〉 1 + |〈a|b〉|² ⎠ ⎝β₁⎠ ⎝β₁⎠.
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This gives the equation α₁ + α₁|〈a|b〉|² + 2β₁〈a|b〉 = E₁α₁, and therefore the ratio between α₁ and β₁,
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͟β͟₁͟ = ͟E͟₁͟ ͟-͟ ͟1͟ ͟-͟ ͟|͟〈͟a͟|͟b͟〉͟|͟²͟, or
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α₁ 2〈a|b〉
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β₁ = ͟α͟₁͟(͟E͟₁͟ ͟-͟ ͟1͟ ͟-͟ ͟|͟〈͟a͟|͟b͟〉͟|͟²͟)͟
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2〈a|b〉
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Using the normalization condition, the values of each constant can be obtained. Plugging the value for α₁ into the equation reveals a quadratic equation.
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|α₁|² + |β₁|² = 1, so
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|α₁|² + | ͟α͟₁͟(͟E͟₁͟ ͟-͟ ͟1͟ ͟-͟ ͟|͟〈a͟|͟b͟〉͟|͟²͟)͟ |² = 1.
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| 2〈a|b〉 |
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α₁(1 - E₁) + 2β₁〈a|b〉 + α₁|〈a|b〉|² = 0 and
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α₁ = ±√1 - |β₁|², so
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±√1 - |β₁|² (1 - E₁) + 2β₁〈a|b〉 + ±√1 - |β₁|² |〈a|b〉|² = 0.
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The quadratic formula therefore says that
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