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614 B
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x̂|x〉 = x|x〉
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|x〉 forms a continuous state
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∞
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|Ψ〉 = ∑cᵢ|x〉 → ∫ dx 〈x|Ψ〉|x〉
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ⁱ -∞
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We have
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∞
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1 = ∫ dx |x〉〈x|
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-∞
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|Ψ〉 = 𝟙|Ψ〉 → ∫ dx 〈x|Ψ〉|x〉
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In particular,
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∞
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|x′〉 = ∫ dx 〈x|x′〉|x〉 = δ(x-x′)
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-∞
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Also
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〈Ψ|Ψ〉 = 〈Ψ|𝟙 𝟙|Ψ〉
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∞ ∞
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= ∫ ∫ dx dx′ 〈Ψ|x〉 〈x|x′〉 〈x′|Ψ〉
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-∞ -∞
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-∞
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= ∫ dx 〈Ψ|x〉 〈x|Ψ〉
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∞
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∞
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= ∫ dx |〈x|Ψ〉|² = 1
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-∞
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