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T̂(a)|x〉 =|x+a〉
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|Ψ′〉 = T̂(a)|Ψ〉 = T̂(a) ∫ dx′|x′〉〈x′|Ψ〉
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∞
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= ∫ dx′|x′+a〉〈x′|Ψ〉
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-∞
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∞
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= ∫ δ(x - (x - a′)) Ψ(x′)
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-∞
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= Ψ(x-a) = 〈x|Ψ〉
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T̂(dx) = 1 - ι/ħ p̂𝓍 dx
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T̂(a) = lim [1 - ι/ħ p𝓍 a/n]ⁿ
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n→∞
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= exp(-ι p𝓍 a/ħ)
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[p] = [m L 1/T] (momentum)
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Commutation Properties
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======================
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(x̂ T̂(δx) - T̂ x̂)|Ψ〉
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∞
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= (x̂ T̂(δx) - T̂(δx) x̂) ∫ dx 〈x|Ψ〉|x〉
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-∞
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∞ ∞
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= ∫ dx x̂ T̂(δx)|x〉〈x|Ψ〉 - ∫ dx T̂(δx) x̂|x〉〈x|Ψ〉
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-∞ -∞
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∞ ∞
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= ∫ dx x̂|x+δx〉〈x|Ψ〉 - ∫ dx T̂(δx) x̂|x〉〈x|Ψ〉
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-∞ -∞
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∞ ∞
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= ∫ dx (x + δx) 〈x|Ψ〉|x+δx〉 - ∫ dx x 〈x|Ψ〉|x+δx〉
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-∞ -∞
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= δx|Ψ〉
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On the other hand...
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x̂ T̂(δx) - T̂\(δx) x̂ = x̂ - ι/ħ δx x̂ p̂𝓍 - x̂ + ι/ħ δx p̂𝓍 x̂
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= ι/ħ δx [p̂𝓍,x̂] = δx
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[p̂𝓍,x̂] = -ιħ
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[x̂,p̂𝓍] = ιħ (The uncertainty principle) |