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〈x|Ψ〉 = Ψ(x)
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For an observable A the expectation value is
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〈A〉 = 〈Ψ|A|Ψ〉 = 〈Ψ|𝟙 A 𝟙|Ψ〉
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∞ ∞
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= ∫ ∫ dx dx′ 〈Ψ|x〉 〈x|A|x′〉 〈x′|Ψ〉
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-∞ -∞
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∞
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= ∫ dx 〈Ψ|x〉 〈x|A|x〉 〈x|Ψ〉
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-∞
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∞
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= ∫ dx a(x) |Ψ(x)|²
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-∞
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