phy-4600/lecture_notes/2-8/wave mechanics

x̂|x〉 = x|x〉

|x〉 forms a continuous state
               
               ∞
|Ψ〉 = ∑cᵢ|x〉 → ∫ dx 〈x|Ψ〉|x〉
      ⁱ       -∞

We have
        ∞
    1 = ∫ dx |x〉〈x|
       -∞ 

|Ψ〉 = 𝟙|Ψ〉 → ∫ dx 〈x|Ψ〉|x〉

In particular,
           ∞
    |x′〉 = ∫ dx 〈x|x′〉|x〉 = δ(x-x′)
          -∞

Also

    〈Ψ|Ψ〉 = 〈Ψ|𝟙 𝟙|Ψ〉

      ∞  ∞
    = ∫  ∫ dx dx′ 〈Ψ|x〉 〈x|x′〉 〈x′|Ψ〉 
     -∞ -∞ 

     -∞
    = ∫ dx 〈Ψ|x〉 〈x|Ψ〉
      ∞

      ∞
    = ∫ dx |〈x|Ψ〉|² = 1
     -∞