phy-4600/lecture_notes/2-8/translation operator

T̂(a)|x〉 =|x+a〉

|Ψ′〉 = T̂(a)|Ψ〉 = T̂(a) ∫ dx′|x′〉〈x′|Ψ〉

      ∞
    = ∫ dx′|x′+a〉〈x′|Ψ〉 
     -∞

      ∞
    = ∫ δ(x - (x - a′)) Ψ(x′)
     -∞

    = Ψ(x-a) = 〈x|Ψ〉

T̂(dx) = 1 - ι/ħ p̂𝓍 dx

T̂(a) = lim [1 - ι/ħ p𝓍 a/n]ⁿ
       n→∞

    = exp(-ι p𝓍 a/ħ)

[p] = [m L 1/T] (momentum)

Commutation Properties
======================
    (x̂ T̂(δx) - T̂ x̂)|Ψ〉

                              ∞
        = (x̂ T̂(δx) - T̂(δx) x̂) ∫ dx 〈x|Ψ〉|x〉
                             -∞

          ∞                        ∞ 
        = ∫ dx x̂ T̂(δx)|x〉〈x|Ψ〉 - ∫ dx T̂(δx) x̂|x〉〈x|Ψ〉
         -∞                       -∞

          ∞                        ∞ 
        = ∫ dx x̂|x+δx〉〈x|Ψ〉 - ∫ dx T̂(δx) x̂|x〉〈x|Ψ〉
         -∞                       -∞

          ∞                        ∞ 
        = ∫ dx (x + δx) 〈x|Ψ〉|x+δx〉 - ∫ dx x 〈x|Ψ〉|x+δx〉
         -∞                       -∞

        = δx|Ψ〉

    On the other hand...

        x̂ T̂(δx) - T̂\(δx) x̂ = x̂ - ι/ħ δx x̂ p̂𝓍 - x̂ + ι/ħ δx p̂𝓍 x̂

        = ι/ħ δx [p̂𝓍,x̂] = δx

        [p̂𝓍,x̂] = -ιħ

        [x̂,p̂𝓍] = ιħ (The uncertainty principle)