〈x|Ψ〉 = Ψ(x)

For an observable A the expectation value is

    〈A〉 = 〈Ψ|A|Ψ〉 = 〈Ψ|𝟙 A 𝟙|Ψ〉

      ∞  ∞  
    = ∫  ∫ dx dx′ 〈Ψ|x〉 〈x|A|x′〉 〈x′|Ψ〉
     -∞ -∞

      ∞
    = ∫ dx 〈Ψ|x〉 〈x|A|x〉 〈x|Ψ〉 
     -∞

      ∞
    = ∫ dx a(x) |Ψ(x)|²
     -∞

     